Problemas de Estadistica Inferencial 5 puntos: 2012

Distribuiciòn de poisson

La distribución de Poisson es una distribucion de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
La función de masa de la distribución de Poisson es

$f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!$

donde:

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

A continuaciòn veras algunos ejemplos creados en excell, para que tengas una idea mas clara de como se resuelven:

http://db.tt/TfOvQ6r6

Distribuiciòn geometrica

La distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cual de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.
Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

$P(X = x) = (1 - p)^{x-1}p\,$

para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

$P(Y=x) = (1 - p)^{x}p \,$

Siguenos en este enlace para ver mas ejemplos:

http://db.tt/l1nk8CeM

Distribuiciòn hipergeometrica

La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( $0 \le x \le d$ ) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.
La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatrios y es igual a

$P(X=x)=\frac{{d \choose x}{{N-d \choose n-x}}}{{N \choose n}},$

donde $N$ es el tamaño de población, $n$ es el tamaño de la muestra extraída, $d$ es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y $x$ es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación ${a \choose b}$ hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar $b$ elementos de un total $a$ .

Acompañanos a ver los siguientes ejemplos:

http://dl.dropbox.com/u/73242482/geometrico.xlsx

Distribuiciòn Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

$X \sim B(n, p)\,$

En el siguiente link, veràs mas ejemplos:

http://dl.dropbox.com/u/73242482/binomial.xlsx

Distribuiciòn Binomial Negativa

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.
El número de experimentos de Bernoulli de parámetro $\theta$ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y $\theta$ .
La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Su función de probabilidad es
$\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}$
para enteros x mayores o iguales que k, donde
$\!{x-1 \choose k-1} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}$ .
Su media es
$\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}$
si se piensa en el número de fracasos únicamente y
$\!\mu = \frac{{k}}{\theta}$
si se cuentan también los k-1 éxitos.
Su varianza es
$\!\sigma ^2 = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}$

Sigue los ejemplos, en excel:

http://dl.dropbox.com/u/73242482/binomial%20negativa.xlsx

martes, 22 de mayo de 2012